Partie B : propriétés de l'aire sous la courbe

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0~;+ \infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).
Soit \(b\), \(c\) et \(d\) trois nombres réels tels que \(1\leqslant b\leqslant c\leqslant d\).
On considère les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\) appartenant à l'hyperbole représentative de la fonction \(f\) d'abscisses respectives \(1\), \(b\), \(c\) et \(d\).

On s'intéresse aux aires des trois domaines suivants :

• le domaine 1 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=b\) ;
• le domaine 2 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=b\) et \(x=c\) ;
• le domaine 3 délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=c\) et \(x=d\).

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant sont représentés, dans un repère orthogonal, l'hyperbole notée \(\mathcal{H}\), courbe représentative de la fonction inverse, ainsi que les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\). Les aires, en unités d'aire arrondies à \(10^{-2}\) près, des trois domaines décrits précédemment sont indiquées respectivement en rouge, vert et bleu.

1. Déplacer les points \(\text{B}\) et \(\text{C}\) de sorte que \(b=2\) et \(c=4\). Observer les aires des domaines rouge et vert, puis conjecturer la valeur de \(d\) afin que l'aire du domaine bleu soit égale à celles des deux autres domaines.
2. En utilisant le fichier de géométrie dynamique, compléter le tableau suivant.

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Aire du domaine} & \text{rouge}&\text{vert}&\text{bleu}\\ \hline b=2, c=4, d=8&&& \\ \hline b=3, c=9, d=27 \\ \hline b=\dfrac{3}{2}, c=\dfrac{9}{4}, d=\dfrac{27}{8} \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

Que peut-on constater ?
3. Les déterminations d'aires sont des problèmes très anciens. En 1647, Grégoire de Saint-Vincent publie Opus geometricum, à Anvers. Dans son ouvrage, il affirme que, dans la configuration qu'on vient d'observer : « Quand les abscisses croissent en progression géométrique, les aires croissent en progression arithmétique. » (adapté au langage moderne).
Illustrer la citation de Grégoire de Saint-Vincent à l'aide des observations réalisées et identifier pour chacun des trois exemples traités à la question 2. les raisons de la suite arithmétique et géométrique évoquées dans la citation.

Voici la page originale : 

4. Expliquer pourquoi les observations précédentes permettent d'énoncer la propriété suivante.

Propriété

Soit \(\mathcal A\) la fonction définie pour tout réel supérieur à \(1\) qui, à tout   \(a\geqslant1\), associe l'aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal{H}\), l'axe des abscisses et les droites d'équations \(x=1\) et \(x=a\).
Pour tous les réels \(a\geqslant1\) et \(b\geqslant1\), on a \(\mathcal{A}(a\times b) = \mathcal{A}(a) + \mathcal{A}(b)\).